【中学数学平面図形】 公立高校入試の良難問 ～定期テストや高校入試に～

こんにちは！レオンです。

今回はこの問題を解いていこうと思います(*´ω｀*)

※公立高校入試で出題されたものを、解きやすいように私の方で一部変更したものです。確認は十分行いましたが、変更したことによる問題自体の欠陥がありましたらコメント下さい。

ヒント

・いきなり四角形DGHFについて考えるのではなく、順を追ってから考えていきましょう。

・四角形ABEDはひし形（平行四辺形）です。  ← 重要！

・比合わせをぜひ行いましょう。

以下より答え・解説を始めますので、まだ解いている方はご注意下さい✨

答え

答えは、、、

７/４５倍　(４５分の７倍)

です！！

合っていましたでしょうか？？

詳しい解説

以下より詳しい解説です。理解できているところについては説明がうざったいかもしれないので、ぜひ必要な所を見極めてお読みください。

①問題把握

まず、この問題が何を言っているのかを理解するのがちょっと面倒ですね。

『 ・Eは、△ABDを、直線DBを対称の～ 』と言っているところは、

「ひし形だよ」って言ってるようなかんじです。

ただ、この問題においてひし形であるという情報はあまり重要ではなく、「四角形ABEDは平行四辺形である」という風に思っていればいいです。

②DFとEFの長さを求める

今回は具体的な面積の値を求めてから比べるわけではないです。

いきなり四角形DGHFを求めようとするのではなく、１つ１つの小さな図形の比を使っていきます。

DFとEFの長さを求めることができました。

比較的わかりやすい相似の利用かなと思います。

求め方の順番は色々あるので、必ずしもここを最初に求めなければいけないわけではないです。

③ AG : GH : HE 

この２つの面積比を求めることで、

AG：GH：HA の比を求めることができます。

今回は、１＋１ と ３＋２ の最小公倍数である１０で数をそろえています（数がずれているままでは比べることができないので）。

ここは、比合わせに慣れてない方にとっては理解しづらいかもしれません (僕にとっけも説明しづらいです笑)。しかし、この考え方はとても重要なのでぜひ覚えて行って下さい！

④小さい図形の面積比

AG：GH：HA の比が求まったので、△ABEの中の３つの三角形の比を求めることができます。（３つの三角形の高さは等しいから）

△BEHと△HEFも高さが等しく、さらに底辺の比もわかっているので比を求めることがでしました。

△BEHと△HEFの面積比を求めることができました。

ここで間違えてはいけないのですが、ここに出でくる５とか４とか８/３とかの数字はあくまでも面積比であって、具体的な面積ではありません。

△BFE∽△CFDになるのは、平行線の錯角は等しく、また対頂角は等しいから(２組の角がそれぞれ等しいから)です。

ここでようやくひし形の性質が出てきました。

ひし形の対角線は２線が垂直に交わるという性質があるので、４つの三角形は全て合同になります。

これで、細かく分けた全ての図形（７つ）の面積比を求めることができました！

⑤△ABCへ

これまで求めたことが左の図でまとまっています。

△ABCは、５＋５＋１＋７/３＋５/３より１５ですね。

四角形DGHFの７/３ と △ABCの１５ を比べると ７/４５になります！

これで無事解くことができました！！

まとめ ～これだけは覚えて帰って～

今回は平行四辺形（ひし形）が出てきました。

平行四辺形は相似のオンパレードです！線をどこかに引くだけで相似の出来上がり！笑

相似が複数出てくるということは、比合わせ（解説③の作業）の問題も出やすい気がします。ぜひもう一度解説③の所を見直してみてください。

比合わせと来たら、最小公倍数で数をそろえることを必ず意識してください！比合わせは本当に色々な所で出てきます！

今回の記事は以上です。

質問、欠陥、アドバイス、他の解法 などありましたらコメント下さい！

ありがとうございました！