【中学数学発展】 三平方の定理の良難問 灘高校過去問 ～定期テストや高校入試に～

こんにちは！レオンです。

今回はこの問題を解いていこうと思います(*´ω｀*)

見た目はシンプルで一見簡単そうに見えますが、かなりの難易度だと思います。

さすが灘 (*´Д｀)

ヒント

・補助線が必要です。 ← 正しく引けるかが結構重要です！！

・相似を使います。

以下より答え・解説を始めますので、まだ解いている方はご注意下さい✨

答え

答えは、、、

 2√6 

です！！

合っていましたでしょうか？？

詳しい解説

以下より詳しい解説です。理解できているところについては説明がうざったいかもしれないので、ぜひ必要な所を見極めてお読みください。

①補助線を引く

問題図このままではどうすることもできないので、補助線を引きます。

補助線を引く場所は、、、

 ∠B を２等分します！！

ここに補助線を引けるかどうかがこの問題の大きな鍵になります。

このように問題図がシンプルな場合は逆に補助線が色々な所に引けてしまうので、複数試してみるといいかもしれません。

しかし、これが引けたからといってこの問題がすぐに解けるという訳ではありません !?

②ABの長さを求める

今回の問題はACの長さを聞かれているので、逆から考えて

 ACを求める → ADが分かればACが求められる(三平方の定理より) → ABが分かればADが求められる(三平方の定理より)

となりますね。(この逆から考えるときも、思い込みを避けるためにも柔軟に色々な方法を考えてください！)

②-1 相似を見つける

① で補助線を引いたことにはもちろん意味があります。

下↓ の図のように、

△EBD ∽ △ACD になります。また、DE : EA = 1 : 3 にもなりますね。

ここで、勘のいい方はもう気づいたかもしれません。。。 

②-2  DE : EA = BD : BA

ここで、相似の単元でやったことを思い出します。

僕が使っていた教科書には雑にしか説明がありませんでしたが、これはかなり重要です。

覚えてなかった方はぜひこの機会に！

少々見つけづらいですが、問題にちゃっかり入っています。

これでABの長さが求まりました！！

③三平方の定理

ここまでこればもう答えは出ているようなものですね。

順番に三平方の定理を使っていけば答えが出ます！

答えは 2√6 です！！

無事解くことができました。

まとめ ～これだけは覚えて帰って～

中学校の数学で補助線を引く場所は、

① どこかとの平行

② 角と角を結ぶ

③ 角の２等分

④ 垂線

の４つがほとんどのように感じます。（もちろんこれで全部ではないですよ）

個人的な感覚ですが、①の平行線が結構多い気がするかな、、、？

今回は④でしたが、こういう場合は

「 ∠B = 2∠C だったら ∠B を２つに分ければ ∠C と等しくなるところが２個できるようになるな～」

みたいな感じで、問題から何となく察することも大事です！

練習で数を積んでいけば自然と補助線が引けるようになるかも！？

今回の記事は以上です。

質問、欠陥、アドバイス、他の解法 などありましたらコメント下さい！

ありがとうございました！