【中学数学発展】空間図形の良難問とその解説 公立高校入試過去問より ～定期テストや高校入試に～

こんにちは！レオンです。

今回はこの問題を解いていこうと思います(*´ω｀*)

今回は空間図形の問題です！　２０１９年の愛知県公立高校入試より。

一見簡単そうに見えますが、、、？

ヒント

・まずはどういう立体になるのか考えましょう。

・立体の高さを求めるために、先にＡＤを求めましょう。

以下より答え・解説を始めますので、まだ解いている方はご注意下さい✨

答え

答えは、、、 

１８√７ / ７（７分の１８ルート７）立方センチメートル 

です！！

合っていましたでしょうか？？

詳しい解説

以下より詳しい解説です。理解できているところについては説明がうざったいかもしれないので、ぜひ必要な所を見極めてお読みください。

① 図形の組み立て

まずは平面の状態から立体へ組み立てていきます。

そうすると、

こうなりますね。

この問題の肝でもありますが、ＢＤは高さになっていないという事を忘れないでください。

今回は高さをＩＢと置いて考えていきます。

次に、ＩＢを含めた立体を再び平面に戻していきます。

ＩＢを求めることが出来れば体積も求めることができるので、これからＩＢを求めていきます。

② ADの長さ

いきなりＩＢを求めることは難しそうなので、まずはＡＤを考えていきます。

問題文から分かっている基本的なことですが、ＢＤとＤＣの長さもおさえておきます。

三角形ＡＢＣは正三角形なので、高さ（ＡＨ）の長さは簡単に出すことが出来ます。

ＤＨも求めておきます。

ＤＨとＡＨの二辺を使って、三平方の定理よりＡＤの長さが求められますね！

ＡＤは ２√７cmでした！

ＡＤの長さが分かったことで、もうすぐＢＩの長さを求めていくことが出来ます。

③ ＤＩの長さ

ＢＩを求めるためにＤＩを先に考えていきます。

今回はＤＩを x と置いて、方程式を立てて考えていきます。

（３辺の長さが分かっている三角形の高さを求めるようなイメージです）

ＢＩの二乗に対する２つの式を立てることが出来ました。

この２つの式をイコールで繋いで方程式を解くと、

ＤＩの長さを求めることが出来ました！

いよいよ三平方の定理に当てはめてＢＩを求めていきます！

④ ＢＩの長さへ

直角三角形ＢＤＩを見ると、既に二辺の長さが求められていますね。

なので、

三平方の定理より求められることが出来ました！

少々数字が複雑なので、計算ミスには気を付けて下さい。

⑤ 立体ＡＢＣＤの体積へ

もうすでに、高さに当たるＢＩの長さが求められています。

体積を求めるためには、高さと底面積の２つが必要でしたね。

最後に、底面に当たる△ＤＡＣの面積を求めていきます。

とうとう高さと底面積を求めることが出来ました。

あとは三角錐の体積の公式に当てはめて、

体積を求めることが出来ました！

ＢＩを求めていくのが大変でした。

まとめ ～これだけは覚えて帰って～

今回は空間図形の問題を扱っていきました。

立体の体積を求めるためには高さと底面積が必要になると思います。

どこが高さになるのか、どこを高さにするのかを柔軟に考えましょう！

例えば、四面体だったら４通りの高さを求めることができると思います。

問題を解くためにはどこを高さにすればいいかを、ぜひ柔軟な視点で考えてみましょう！

ちょっと違った角度で見れば意外と簡単に問題が解けるかも、、？

今回の記事は以上です。

質問、欠陥、アドバイス、他の解法 などありましたらコメント下さい！

ありがとうございました！