【中学数学発展】シンプルだけど難しい！ ラ・サールの難問 平面図形 ～定期テストや高校入試に～

こんにちは！レオンです。

今回はこの問題を解いていこうと思います(*´ω｀*)

たったこれだけ！？

シンプルだけど、結構難しいですね～

ヒント

・補助線は必須です。

・ AD：DE を求めてみましょう。

・二等辺三角形が出てきます。

以下より答え・解説を始めますので、まだ解いている方はご注意下さい✨

答え

答えは、、、 

８：３

です！！

合っていましたでしょうか？？

詳しい解説

以下より詳しい解説です。理解できているところについては説明がうざったいかもしれないので、ぜひ必要な所を見極めてお読みください。

① 補助線を引く

問題図のままではどうすることもできないので、まず補助線を引いていきます。

問題図はこうなっていますね。

それで、今回は補助線を

こう引きます！

堅苦しく言うならば「AをBEを対称の軸として対称移動させた点をFとする」とでもなりますかね。

今回こう引いた最大の利点は、△BAFが二等辺三角形になっているということです。

二等辺三角形になっていることがこの問題を解く上で大事になってくるので忘れないように！！

② AD : DE : EF を求める

二等辺三角形は底角が等しいですよね。直線BFとACで錯角が等しいので直線BFとACは平行になります。

ここで平行が出てきました！平行ということは、、、？

平行と言われたら、分かることがたくさん出てきます。

平行といえば最初に相似を疑ってほしいです。

他の記事でも言っていますが、平行線は相似がめちゃめちゃできやすいです。

言うまでもないかもしれませんが、２組の角がそれぞれ等しいため △BDF∽△CDA です。

また、基本的なことですが

BFはAFを二等分しますね。

なのでAE：EF＝１：１になります。

このことと先ほど求めた△BDF：△CDA＝３：２という情報を使って、

 比合わせです！

１：１と２：３を合わせるためには、５：５と４：６で数を揃えます。

これは僕の個人的な考え方ですが、数直線の目を細かくしていくイメージで比合わせを行っています。

AD：DE：EF＝４：１：５ が求まりました！

③ 面積比へ

では、いよいよ面積比について考えていきます。

  先ほど AD：DE：EF を求めたので、△BDEと△BEFの面積比も１：５になります。（２つの三角形の高さが等しい → 底辺の長さの比になる比が面積になるから）

この１：５の情報と、先ほど求めた △ADC：△FDB＝４：９ということを組合わせて、

９ の中で１：５ に分かれていますね。

なので ９×１/６ をすることで△ADCと比べることが出来ます。

答えは８：３です！

これで無事解くことができました！！

４：１とかとしないようにして下さいね。そのまま比べることはできません。

まとめ ～これだけは覚えて帰って～

今回は補助線を引くのが難しかったように思えます。

ただ、補助線を引くといってもどこでもいいというわけではありません。ちゃんと意味があって引いています。

なので闇雲に引くのではなく、逆から考えてみて「どういう情報が欲しいのか」という風にするのもいいかもしれませんね。

他の方も同じ問題を扱っているので紹介しておきます。

僕とは違った解法でやっています。ぜひ見てみて下さい！ 

今回の記事は以上です。

質問、欠陥、アドバイス、他の解法 などありましたらコメント下さい！

ありがとうございました！